Иллюстрированный самоучитель по Mathematica


              

Интересно оценить погрешность аппроксимации. Для


ri2 = RationalInterpolation[Sin[x],{x,3,4},{x,-Pi,Pi}]

Интересно оценить погрешность аппроксимации. Для этого достаточно построить график разности аппроксимирующей и аппроксимируемой функций. Это построение представлено на рис. 11.23. Любопытно, что хотя максимальная погрешность и значительна, резких выбросов погрешности в данном случае нет.



Рис. 11.23. График погрешности аппроксимации синусоидальной функции

При рациональной аппроксимации можно задать опции WorkingPrecision и Bias со значениями по умолчанию $MachinePrecision и 0 соответственно. Опция Bias обеспечивает автоматическую расстановку узлов интерполяции. При Bias->0 обеспечивается симметрирование выбросов погрешности, дающее наименьшее ее значение в пиках. Ниже приведен пример интерполяции (аппроксимации) экспоненциальной функции в интервале изменения х от 0 до 2:

ri3 = RationalInterpolation[Exp[x],{x,2,4},{x,0,2},Bias->.25]

Построение графика погрешности (рис. 11.24) показывает, что правильным выбором центра интерполяции можно существенно уменьшить ее погрешность. Теперь большая погрешность наблюдается в левой части графика. Однако резкого выброса погрешности в данном случае нет.



Рис. 11.24. Погрешность аппроксимации экспоненты при выборе опции Bias->.25

Из приведенных примеров ясно, что рациональная аппроксимация способна дать существенное уменьшение погрешности при некотором оптимальном расположении узлов аппроксимации и выравнивании погрешностей по абсолютной величине в точках минимумов и максимумов кривой погрешности. Это лежит в основе так называемой минимаксной аппроксимации. Она реализуется следующей функцией:

  • MiniMaxApproximation[f,{x,{xmin,xmax},m,k}] — возвращает рациональную функцию минимаксной аппроксимации f при степени полиномов числителя и знаменателя {m, k} ив интервале изменения х от xmin до xmax:
  • MiniMaxApproximation [f, approx, {x, {xmin, xmax} ,m, k} ] —возвращает рациональную функцию минимаксной аппроксимации f при степени полиномов числителя и знаменателя {m, k} ив интервале изменения х от xmin до xmax с возможностью выбора метода аппроксимации approx.
Эта аппроксимация использует итерационный алгоритм вычислений.

Содержание  Назад  Вперед