Иллюстрированный самоучитель по Mathematica



              

Вычисление производных - часть 2


  • Производная ортогонального полинома Чебышева:

    D[ChebyshevT[4,x],x]

    -16x + 32x3

  • Следующие примеры иллюстрируют вычисление производных от первого до третьего порядка включительно для функции f [ х ], заданной пользователем.

    Ввод (In) Вывод (Out)
    f[x] :=х/(1+х ^ 2)  
    D[f[x],{x,l}] -2x 2 /(1+x 2 ) 2 +1/(1+x 2 )
    D[%,x] -8x 3 /(1+x 2 ) 3 +6x/(1+x 2 ) 2
    D[f[x],{x,2}] -8x 3 /(1+x 2 ) 3 +6x/(1+x 2 ) 2
    D[D[D[f[x],x],x],x] -48x 4 /(1+x 2 ) 4 +48x 2 /(1+x 2 ) 3-6/(1+x 2 ) 2
    D[f[x],{x,3}] -48x 4 /(1+x 2 ) 4 +48x 2 /(1+x 2 ) 3-6/(1+x 2 ) 2

    Из предпоследнего примера видно, что для вычисления высших производных возможно последовательное применение функции D.

    На рис. 4.1 показано построение графика функции Sin [x] /х, заданной как функция пользователя, и ее производной с помощью функции Plot.

    Рис. 4.1. График функции Sin[x]/x и ее производной

    В целом средства для символьного вычисления производных, имеющиеся в ядре системы Mathematica, охватывают практически все важные типы математических выражений. Они могут включать в себя как элементарные, так и специальные математические функции, что выгодно отличает систему Mathematica от некоторых простых систем символьной математики, таких как Derive.

    Использование функции Dt демонстрируют примеры, приведенные ниже.

    Ввод (In) Вывод (Out)
    Dt[x*n,x] x n (n/x +Dt[n, x] Log[x] )
    Dt[x*Sin[x] ,x] xCos[x] + Sin[x]
    Dt[Exp[x/b],x] e x/b /b(1/b-xDt[b, x]/b 2 )
    Dt[a*x ^ 2+b*x+c,x] b+ 2 ax + x 2 Dt[a, x] + xDt[b, x] + Dt[c, x]
    Dt[x*n,{x,2}] x n (n/x+Dt[n, x] Log[x] ) + x n (-n/x 2 2Dt[n, x] +Dt[n, {x/2}]Log[x])
    Dt[Log[3*x/4],x] 1/x
    Dt[BesselJ[2,x] ,x] 1/2(BesselJ[l, x] -BesselJ[3, x] )
    Dt[ChebyshevT[4,x] ,x] -16x + 32x 3

    Обратите внимание на то, что порой результаты для одного и того же дифференцируемого выражения у функций D и Dt заметно различаются. Это вполне закономерно вытекает из различных определений данных функций.




    Содержание  Назад  Вперед