Ускорение численных расчетов и повышение их точности

Большинство пользователей с трудом уловят разницу между версиями Mathematiea 3 и Mathematica 4. Именно поэтому основной материал данной книги полностью относится к этим двум последним версиям. Тем не менее, различия между версиями есть, и достаточно серьезные.

Пожалуй, главной отличительной особенностью системы Mathematica 4 стало кардинальное ускорение численных расчетов. Традиционно системы символьной математики проигрывали численным системам, таким как MATLAB. До сих пор скорость вычислений в системе MATLAB в 5-10 раз превышала скорость вычислений, производимых системами символьной математики. Поэтому в системе Mathematica 4 были предприняты необычные для систем символьной математики и даже беспрецедентные меры по ускорению численных расчетов. Они перечислены ниже:

Значительно ускорены все операции с матрицами, особенно большого размера.
Существенно оптимизированы алгоритмы для выполнения вычислений с числами, содержащими вплоть до миллиона знаков.
Ускорен ввод и вывод очень больших целых чисел.
Полностью сохраняется точность при вводе и выводе приближенных действительных чисел.
Обеспечивается свертка и корреляция массивов любой размерности.
Применены новые оптимизированные алгоритмы для преобразований Фурье.
Ускорены процедуры численного решения полиномиальных уравнений.

Рисунок 1.22. иллюстрирует некоторые простые вычисления в численном виде с фиксацией времени вычислений для систем Mathematica 3 и 4 (данные получены от разработчика).

Рис. 1.22. Сравнительные данные по скорости простых вычислений

Из примеров на рис. 1.34 видно, что скорость простых вычислений возросла в 5-10 раз.. В отдельных случаях скорость более сложных вычислений возрастала намного больше. Ниже приведены данные о выполнении некоторых операций над матрицей m большого размера (500x500).

Операция

Mathematica 4

Mathematica 3

Отношение времен

Sin [m]

(m+ 1) 100

Min [m]

0,13с

0,311 с

0,02с

2,433 с

4,426 с

4,487 с

18,7:1

14,23:1

224:1

Такое резкое ускорение скорости численных расчетов способно открыть для системы Mathematica 4 новые обширные сферы применения, например численное моделирование сложных систем, описываемых матричными алгебраическими и дифференциальными уравнениями.

Содержание раздела