Иллюстрированный самоучитель по Mathematica
Функции пользователя
Понятие функции ассоциируется с обязательным возвратом некоторого значения в ответ на обращение к функции по ее имени с указанием аргументов (параметров) в квадратных скобках. Возврат функциями некоторых значений позволяет применять их наряду с операторами для составления математических выражений.
Функции подразделяются на встроенные в ядро системы внутренние функции и функции, заданные пользователем. Примером первых могут быть Sin[x], Bessell [n, x] и т.д. Mathematica содержит множество таких функций, охватывающих практически все широко распространенные элементарные и специальные математические функции. Есть и возможность создания функций со специальными свойствами — чистых (pure functions) и анонимных функций.
Суть функционального программирования заключается в использовании в ходе решения задач только функций. При этом возможно неоднократное вложение функций друг в друга и применение функций различного вида. В ряде случаев, особенно в процессе символьных преобразований, происходит взаимная рекурсия множества функций, сопровождаемая почти неограниченным углублением рекурсии и нарастанием сложности обрабатываемых системой выражений.
Встроенные стандартные функции и их типовые применения уже были описаны в предшествующих уроках. Так что далее мы рассмотрим только задание функций особого вида, создаваемых пользователем или используемых в управляющих структурах программ.
Хотя в системах Mathematica имеется около тысячи встроенных функций, любому пользователю рано или поздно может потребоваться создание какой-либо своей функции. Кажется естественным задать ее по правилам, принятым во многих языках программирования. Например, функцию для возведения х в степень п можно было бы определить так:
powerxn[x, n] := x^n
Однако такая функция отказывается работать:
{powerxn[2, 3], powerxn[a, b]}
{powerxn[2, 3] , powerxn[a, b]}
Причина этого кроется в том, что в системе Mathematica символы х и n являются обычными символами, не наделенными особыми свойствами.
Будучи использованными в качестве параметров функции, они не способны воспринимать формальные параметры [2,3] или [ а, b ]. Так что вычислить нашу ущербную функцию можно лишь при предварительном присваивании х иn нужных значений:
х := 2; n := 3; powerxn[x, n]
8
Разумеется, заданная таким образом функция является неполноценной. Для того чтобы функция пользователя нормально воспринимала переданные ей аргументы, в списке параметров надо использовать образцы в виде переменных, но имеющие после своих имен символы подчеркивания. Образцы способны быть формальными параметрами функций и воспринимать значения фактических параметров (в нашем случае значений 2 и 3). Таким образом, правильной будет запись функции пользователя в виде
powerxn[x_, n_] := х^n
Теперь вычисление по заданной функции пользователя пройдет гладко, причем как в численном, так и в символьном виде:
{powerxn[2, 3], powerxn[z, у], powerxn[x, n]}
{8, zy, 8}
Заметим, что для уничтожения определения заданной функции можно использовать команду-функцию Clear [Name_f unction], где Name_f unction — имя функции.
Можно также задать функцию пользователя, содержащую несколько выражений, заключив их в круглые скобки:
f[x_] := (t = (1 + х)^2; t = Expand[t])
Переменные списка параметров, после имен которых стоит знак «_», являются локальными в теле функции или процедуры. На их место подставляются фактические значения соответствующих параметров, например:
f [а + b]
1+2а+а2+2b+2ab+b2
t
1+2а+а2+2b+2ab+b2
Обратите внимание на то, что переменная t в функции f является глобальной. Это поясняет результат последней операции. Применение глобальных переменных . в теле функции вполне возможно, но создает так называемый побочный эффект — в данном случае меняет значение глобальной переменной t. Для устранения побочных эффектов надо использовать образцы и другие специальные способы задания функций, описанные ниже. Итак, можно сформулировать ряд правил для задания функций пользователя:
- такая функция имеет идентификатор — имя, которое должно быть уникальным и достаточно понятным;
- в списке параметров функции, размещенном в квадратных скобках после идентификатора, должны использоваться образцы переменных, а не просто переменные;
- может использоваться отложенное (: =) или немедленное (=) присваивание;
- тело функции может содержать несколько выражений, заключенных в круглые скобки, при этом возвращается значение последнего выражения;
- переменные образцов в списке параметров являются локальными и действуют только в пределах тела функции;
- в теле функции могут использоваться глобальные переменные, но при этом возможны побочные эффекты;
- возможно обращение к функции из тела этой же функции (рекурсия).
powerxn[{l, 2, 3, 4, 5}, z]
{1, 2Z, 3Z, 4Z, 5Z}
powerxn[{l, 2, 3, 4, 5}, 2]
{1, 4, 9, 16, 25}
После своего задания функции пользователя могут использоваться по тем же правилам, что и встроенные функции.
