Иллюстрированный самоучитель по Mathematica

         

Графы и их функции


Mathematica имеет самые обширные возможности решения задач, связанных с графами. Задание графов и манипуляции с ними также включены в пакет комбинаторики. Они представлены четырьмя группами функций.



Представление графов

AddEdge

AddVertex

Breadth'FirstTraversal

ChangeEdges

ChangeVertices

CircularVertices

CompleteQ

Contract

DeleteEdge

DeieteVertex

DepthFirstTr aversal

Diameter

DilateVertices

Distribution

Eccentricity

Edges

EmptyQ

FromAd j acencyLists

FromOrderedPairs

FromUnorderedPairs

GraphCenter

GraphComplement

InduceSubgraph

M

MakeSimple

MakeUndirected

Normal! zeVerticesPointsAndLines

Pseudograph

RadialEmbedding

Radius

RankGraph

RankedEmbedding

ReadGraph

RemoveSelf Loops

RootedEmbedding

RotateVertices

ShakeGraph

ShowGraph

ShowLabe 1 edGr aph

SimpleQ

Spectrum

SpringErrbedding

ToAdjacencyLists

ToOrderedPairs

ToUnorderedPairs

TranslateVertices

UndirectedQ

UnweightedQ

Vertices

WriteGraph

Одной из самых важных функций этой группы является функция ShowGraph (показать граф). Она обеспечивает визуальное представление графа, заданного аргументом функции. Покажем работу избранных функций этой группы на нескольких примерах.

На рис. 11.7 показано построение полного графа и его таблицы. Параметром графа является число 6, характеризующее число узловых точек графа, соединенных друг с другом.

Изменяя значение параметра графа, можно получить множество других графов. На рис. 11.8 показан вид двух разных графов. Верхний граф — многолучевая звезда с добавленным отрезком, полученная с помощью функции AddEdge. Первый аргумент задает исходный граф (в нашем случае — звезду с 11 узлами), а второй — соединяемые отрезком прямой точки. Нижний рисунок иллюстрирует построение подграфа.

Еще пара графов представлена на рис. 11.9. Этот рисунок иллюстрирует применение функций Contract и GridGraph.
Последняя из них строит сеточный граф.



Рис. 11.7. Пример построения полного графа и его таблицы



Рис. 11.8. Построение графа звезды и подграфа



Рис. 11.9. Примеры построения графов с помощью функций Contractn GridGraph

Приведенный выше набор функций позволяет строить практически любые виды графов и обеспечивает высокую степень их визуализации.

Создание графов

CartesianProduct

CirculantGraph

CodeToLabeledTree

CompleteGraph

Cycle

DegreeSequence

EmptyGraph

ExactRandomGraph

ExpandGraph

Functional-Graph

GraphDif ference

Graphlnter section

GraphJoin

GraphPower

GraphProduct

GraphSum

GraphUnion

GraphicQ

GridGraph

Hypercube

IncidenceMatrix

IntervalGraph

LabeledTreeToCode

LineGraph

MakeGraph

NthPair

Path

RandomGraph

RandomTree

RandomVertices

RealizeDegreeSequence

RegularGraph

RegularQ

Turan

Wheel

-

Рисунок 11.10 показывает применение функций GraphUnion (верхний график) и GraphProduct (нижний график).



Рис. 11.10. Создание графов с помощью функций GraphUnion и GraphProduct С действием других функций нетрудно ознакомиться самостоятельно.

Свойства графов

ArticulationVertices

Automorphisms

Bi Connected

Components

BiconnectedQ

BipartiteQ

Bridges

ChromaticNumber

Chromatic

Polynomial

CliqueQ

Connected

Components

ConnectedQ

DeBruijnSequence

DeleteCycle

EdgeChromatic

Number

EdgeColoring

EdgeConnectivity

Element

EulerianCycle

EulerianQ

ExtractCycles

FindCycle

Girth

GraphPower

HamiltonianCycle

HamiltonianQ

Harary

HasseDiagram

IdenticalQ

Independent SetQ

IsomorphicQ

Isomorphism

IsomorphismQ

MaximumClique

Maximum

lndependentSet

Minimum

VertexCover

OrientGraph

PartialOrderQ

PerfectQ

SelfComplementaryQ

StronglyConnected

Components

TopologicalSort

TransitiveClosure

TransitiveReduction

TravelingSalesman

TravelingSalesman

Bounds

TreeQ

Trianglelnequality

TwoColoring

VertexColoring

VertexConnectivity

VertexCoverQ

WeaklyConnected

Components




Рисунок 11.11 (сверху) показывает применение функции OrientGraph для построения ориентированного графа, который представляется стрелками. Там же (снизу) показано применение функции ShowLabeledGraph для построения графа с маркированными числами вершинами. Напомним, что функция ShowGraph позволяет наблюдать графы без маркировки вершин.



Рис. 11.11. Построение графов — ориентированного (сверху) и с маркированными вершинами (снизу)

Построение широко используемой в теории графов диаграммы Хассе (Hasse) иллюстрирует рис. 11.12.

Алгоритмическая теория графов

AllPairsShor test Path

BipartiteMatchin

Cofactor

Dijkstra FindSet GraphPower
InitializeUnionFind Maxima IMatching MaximumAntichain
MaximumSpanningTree MinimumChainPartition MinimumSpanningTree
NetworkFlowEdges Networks' low NumberOfSpanningTrees
PathConditionGraph PlanarQ Shortest PathSpanningTree
ShortestPath StableMarriage UnionSet
Рисунок 11.13 показывает действие функции MinimumSpanningTree с выводом графа с метками узловых точек.



Риc. 11.12. Построение диаграммы Хассе



Риc. 11.13. Пример применения функции MinimumSpanningTree

В целом следует отметить, что набор функций в области создания, визуализации и теории графов весьма представителен, так что специалисты в области графов могут найти в этом наборе как типовые, так и уникальные средства.



Содержание раздела